直交座標から球面座標系(極座標)に変換するときの誤差伝搬

Error propagation when converting from rectangular coordinate system to spherical coordinate system

飛跡のベクトルが次のように得られたとする

Assume that a vector of trajectory is obtained as follows

$\displaystyle V_x = x \pm \delta x \\ V_y = y \pm \delta y \\ V_z = z \pm \delta z \\$

Range、Theta、Phiは次のようになる

Range, Theta, Phi are as follows

$\displaystyle Range = r = \sqrt{x^2+y^2+z^2}\\ Theta = \theta = acos(z/r)\\ Phi = \phi = atan(y/x)\\$

ただし、C++の実装では、下記を使ったほうが良い。

$\displaystyle Phi = \phi = sign(y)\times acos(x/sqrt(x^2+y^2))\\$

誤差伝搬を計算すると誤差は次のようになる

By calculating the error propagation, the error becomes as follows

$\displaystyle \delta r = \frac{ \sqrt{ (x\,\delta x)^2+ (y\,\delta y)^2+ (z\,\delta z)^2 }}{r} \\ \delta \theta = \frac { \sqrt{ (x^2 \, \delta x^2+y^2 \, \delta y^2)z^2 + (x^2+y^2)^2\delta z^2 } } {r^2\sqrt{x^2+y^2}}\\ \delta \phi = \frac{\sqrt{(y \, \delta x)^2+(x \, \delta y)^2}} {x^2+y^2}$

検索用

デカルト座標系
Cartesian coordinate system
orthogonal coordinate system
偏微分

参照

Derivative Calculator with Steps

$\displaystyle x = r \sin\theta \cos\phi \\ y = r \sin\theta \sin\phi\\ z = r \cos\theta\\$

Rangeを1に規格化するとき、

$\displaystyle \delta x_{norm} = \sqrt{ (\cos\theta \cos\phi \cdot \delta \theta)^2+(\sin\theta\sin\phi\cdot\delta \phi)^2 }\\ \delta y_{norm} = \sqrt{ (\cos\theta \sin\phi \cdot\delta \theta)^2+(\sin \theta\cos \phi \cdot\delta \phi)^2}\\ \delta z_{norm} = \sqrt{(\sin\theta \cdot\delta \phi)^2}\\$

物理の駅 Physics station by 現役研究者

テクノロジーは共有されてこそ栄える

直交座標から球面座標系(極座標)に変換するときの誤差伝搬