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直交座標から球面座標系に変換するときの誤差伝搬

Error propagation when converting from rectangular coordinate system to spherical coordinate system

飛跡のベクトルが次のように得られたとする

Assume that a vector of trajectory is obtained as follows

 \displaystyle

V_x = x \pm \delta x \\
V_y = y \pm \delta y \\
V_z = z \pm \delta z \\

Range、Theta、Phiは次のようになる

Range, Theta, Phi are as follows

 \displaystyle
Range = r = \sqrt{x^2+y^2+z^2}\\
Theta = \theta =  acos(z/r)\\
Phi = \phi = atan(y/x)\\

誤差伝搬を計算すると誤差は次のようになる

By calculating the error propagation, the error becomes as follows

 \displaystyle
\delta r = \frac{ \sqrt{  (x\,\delta x)^2+ (y\,\delta y)^2+ (z\,\delta z)^2 }}{r} \\

\delta \theta = \frac { \sqrt{ (x^2 \, \delta x^2+y^2 \, \delta y^2)z^2      + (x^2+y^2)^2\delta z^2    }    }                {r^2\sqrt{x^2+y^2}}\\

\delta \phi =        \frac{\sqrt{(y \, \delta x)^2+(x \, \delta y)^2}}       {x^2+y^2}

検索用

参照

Derivative Calculator with Steps